Question

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16，直线l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0．
（1）无论m取任何实数，直线l必经过一个定点，求出这个定点的坐标；
（2）当m取任意实数时，直线l和圆的位置关系有无不变性，试说明理由；
（3）请判断直线l被圆C截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时m的值以及弦的长度a．

Answer 1

分析：（1）展开后把含有m的合并在一起，提取m后联立两直线组成的方程组求解定点的坐标；
（2）根据直线过的定点在圆的内部，说明直线和圆的位置关系不变，一定相交；
（3）根据当圆心C和P点的连线垂直于直线l时直线l被圆C截得的弦何时最短求解m的值和弦的长度a．

解答：解（1）直线：l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0可变形m（2x+y+2）+（3x+4y-2）=0
由

2x+y+2=0 3x+4y-2=0

，解得

x=-2 y=2

．因此直线l恒过定点P（-2，2）；
（2）因为已知圆的圆心C（1，3），半径r=4，而（-2-1）²+（2-3）²=10＜16，
所以直线l过圆C：（x-1）²+（y-3）²=16内一定点P（-2，2），故不论m取何值，直线l和圆总相交；
（3）当直线l垂直于CP时，截得的弦最短，此时，k_l•k_CP=-1
kCP=

3-2

1+2

=

1

3

，kl=-

2m+3

m+4

=-3，得m=-9．
∴最短弦长为a=2

r2-|CP|2

=2

16-10

=2

6

，所以m=-9，a=2

6

．

点评：本题考查了直线系方程，考查了直线和圆的位置关系，关键是明确直线l被圆C截得的弦何时最短，是中档题．