Question

设a，b∈（0，1），a^b=b^a，求证：a=b．（用反证法证明）

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：依题意，分别假设设0＜b＜a＜1与0＜a＜b＜1，利用已知及指数函数与幂函数的单调性，导出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论成立．

解答： 证明：∵a，b∈（0，1），a^b=b^a，
假设0＜b＜a＜1，
∵y=a^x（0＜a＜1）为减函数，
∴a^b＞a^a，①
又y=x^a为区间（0，1）上的增函数，
∴b^a＜a^a，②
由①②得：a^b＞b^a，与已知a^b=b^a矛盾，故b＜a不成立；
假设0＜a＜b＜1，同理可得，a^b＜b^a，与已知a^b=b^a矛盾，故b＞a不成立；
综上所述，a=b．

点评：本题考查推理与证明，着重考查反证法的应用，考查指数函数与幂函数的单调性，属于中档题．