Question

过点C（0，1）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（A，0）、B（-a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）当直线l过椭圆右焦点时，写出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段CD的长；
（Ⅱ）设出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，并求出点P的坐标，写出直线AC与直线BD的方程，并解此方程组，求得Q点的坐标，代入即可证明结论．
解答：解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，
所以椭圆的方程为．
椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=-x+1，
代入椭圆方程化简得7x²-8x=0．
解得x₁=0，x₂=，代入直线l的方程得y₁=1，y₂=-，
所以D点坐标为（，-）
故|CD|=；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0，k≠）
代入椭圆方程化简得（4k²+1）x²+8kx=0，
解得x₁=0，x₂=，代入直线l的方程得y₁=1，y₂=，
所以D点坐标为（，），
又直线AC的方程为，直线BD的方程为y=，
联立解得，
因此Q点坐标为（-4k，2k+1），
又P点坐标为（-，0），
∴=（-，0）•（-4k，2k+1）=4，
故为定值．
点评：此题是个难题．本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，和有关定值定点问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，