Question

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴，
∴．…（4分）
（Ⅱ）∵，…（6分）
∴
=．…（8分）
∵，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．
∴当n=1时，T_n取得最小值．…（10分）
要使得对任意n∈N^*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，知a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，用裂项求和法求出T_n=，由此能求出使得对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．
点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法．解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．