A. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
分析 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,以O为原点,过O作DA的平行线为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出四棱锥P-ABCD的高.
解答 解:过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,以O为原点,过O作DA的平行线为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OP为z轴,
建立空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为2a,
则A(a,-a,0),B(a,a,0),P(0,0,$\sqrt{4-2{a}^{2}}$),C(-a,a,0),E(-$\frac{a}{2}$,$\frac{a}{2}$,$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$),
$\overrightarrow{PA}$=(a,-a,-$\sqrt{4-2{a}^{2}}$),$\overrightarrow{BE}$=(-$\frac{3a}{2}$,-$\frac{a}{2}$,$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$),
∵异面直线PA与BE所成角为45°,
∴cos45°=$\frac{|-\frac{3{a}^{2}}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-(2-{a}^{2})|}{\sqrt{4}•\sqrt{1+2{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍),
∴PO=$\sqrt{4-2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$.
故选:C.
点评 本题考查四棱锥的高的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ |
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A. | $\frac{5}{6}$ | B. | $\frac{11}{12}$ | C. | $\frac{10}{11}$ | D. | $\frac{5}{12}$ |
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A. | 288 | B. | 144 | C. | 216 | D. | 72 |
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