Question

15．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．
（1）证明：EF⊥BD；
（2）求四面体BDEF的体积；
（3）求点B到平面DEF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明EA⊥BD，然后证明BD⊥平面EACF，从而证明EF⊥BD．
（2）四面体BDEF的体积：V=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD求解即可．
（3）由余弦定理求出cos∠EDF，得到sin∠EDF，点B到平面DEF的距离为h，由体积法求解即可．

解答 解：（1）证明：由已知，ABCD是正方形，所以对角线BD⊥AC，
因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BD，
因为EA，AC相交，所以BD⊥平面EACF，从而EF⊥BD．
（2）四面体SDEF的体积：V=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD
=2$（\frac{1}{3}{S}_{ACFE}•\frac{1}{2}BD）$-$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•EA$$-\frac{1}{3}{S}_{△DBC}•FC$
=2$（\frac{1}{3}×\frac{1+2}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}）$$-\frac{1}{3}×2×1-\frac{1}{3}×2×2=2$，
所以四面体BDEF的体积为2．
（3）先求△DEF的三条边长，DE=$\sqrt{{EA}^{2}+{AD}^{2}}$=$\sqrt{5}$，DF=$\sqrt{{FC}^{2}+{CD}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
在直角梯形ACFE中易求出EF=3，
由余弦定理知cos∠EDF=$\frac{5+8-9}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，所以sin∠EDF=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
S_△EDF=$\frac{1}{2}•DE•DF•sin∠EDF$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}×\frac{3}{\sqrt{10}}$=3；
点B到平面DEF的距离为h，由体积法知：
${V}_{BDEF}=\frac{1}{3}{S}_{△EDF}•h=\frac{1}{3}×3×h=2$，解得h=2，所以点B到平面DEF的距离为2．

点评 本题考查几何体的体积的求法与应用，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．