Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．
（Ⅰ）证明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（I）根据直线PO与平面ABCD垂直得到线线垂直，根据三垂线定理可得；
（Ⅱ）过O作ON⊥PB于N，连接AN，根据定义可得∠ANO为二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AON中求出此角即可．

解答：解：（I）∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影
又AC⊥BD
∴AC⊥PD
（Ⅱ）过O作ON⊥PB于N，连接AN．
∵PO⊥平面ABCD，
又AO?平面ABCD，
∴PO⊥AO
由已知AO⊥BD，BD∩PO=O
∴AO⊥平面PBD．
∴ON为AN在平面PBD内的射影，
∴PB⊥AN．
∴∠ANO为二面角A-PB-D的平面角．
在Rt△AOD中，AO=1．
∵PO⊥平面ABCD，
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，
∴∠PAO=60°
∴Rt△POA中，PO=

3

∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB=1（8分）
在Rt△POB中，PB=2
∴ON=

PO•OB

PB

=

3 ×1

2

=

3

2

.
在Rt△AON中，tan∠ANO=

AO

ON

=

1

3 2

=

2 3

3

.
∴二面角A-PB-D的大小为arctan

2 3

3

.

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．