Question

如图2-5-18,已知⊙O₁和⊙O₂相交于点A、B,过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E,DE与AC相交于点P.

图2-5-18

（1）求证:AD∥EC;

（2）若AD是⊙O₂的切线,且PA＝6,PC＝2,BD＝9,求AD的长.

Answer 1

思路分析:（1）连结AB,利用⊙O₁的弦切角∠BAC过渡来证明∠D＝∠E.（2）设BP＝x,PE＝y,利用相交弦定理和AD∥EC可以列出关于x、y的方程组,求出x、y,再用切割线定理求AD.

（1）证明:连结AB.?

∵AC为⊙O₁的切线,∴∠BAC＝∠D.?

又∵∠BAC＝∠E,∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.

（2）解:设PB ＝x,PE ＝y,?

∵AP＝6,PC＝2,∴xy＝12.①?

∵AD∥EC,∴=,即=.?

∴9＋x＝3y.②?

由①②解得.?

∴DE ＝9＋x＋y ＝16.∵AD为⊙O₂的切线,?

∴AD²＝DB·DE ＝9×16.∴AD ＝12.