Question

正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是          ．

Answer 1

解析试题分析：当弦MN经过圆心时，弦MN最长，此时，MN=2,。以A^‘为原点，如图，建立空间直角坐标，不妨设MN是上下底面对中心，则M(1,1,2),N(1,1,0),设P（x,y,z）,则，因为P为正方体面上的点，根据x,y,z的对称性可知，的取值范围与点P在那个面上无关。不妨设，点P在底面内，此时有0≤x≤2，0≤y≤2，z=0,所以此时，当x=y=1时，=0，此时最小。当点P位于正方形的顶点时，最大，此时有，所以最大为2.

考点：平面向量的数量积；空间直角坐标系。
点评：此题的难度较大，主要考查学生最值的求法，灵活应用空间直角坐标系，设出点的坐标，把几何问题转化为代数问题来解决。