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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AP=AB=2
3
,AC=4,D为PC中点,E为PB上一点,且,BC∥平面ADE.
(1)证明:E为PB的中点;
(2)若PB⊥AD,求直线AC与平面ADE所成角的正弦值.
考点:直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系
专题:综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)由已知条件推导出BC∥DE,再由D为PC中点,求出E为PB的中点.
(2)由已知条件推导出平面PBC⊥平面ADE,从而得到BC⊥PB.过C作CH⊥ED于H,推导出∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角.由此能求出直线AC与平面ADE所成角的正弦值.
解答: (1)证明:∵BC∥平面ADE,BC?平面PBC,
平面PBC∩平面ADE=DE,
∴BC∥DE.
∵D为PC中点,∴E为PB的中点.
(2)解:∵AP=AB,E为PB的中点,∴AE⊥PB,
又PB⊥AD,∴PB⊥平面ADE,
得DE⊥PB,且平面PBC⊥平面ADE.
由BC∥DE,得BC⊥PB.
过C作CH⊥ED于H,由平面PBC⊥平面ADE,∴CH⊥平面ADE.
∴∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角.
∵BC∥DE,BC⊥PB,∴CH=BE=
1
2
PB=
6

∴sin∠CAH=
CH
AC
=
6
4
点评:本题考查线段中点的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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1
2
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1
2
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2
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13
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C、a<b<c
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