Question

5．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图；
（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计平均分．
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．

解答 解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3，
因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：…..（4分）

（Ⅱ）估计平均分为$\overline x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121$…..（8分）
（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，
用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，
需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，
在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，
设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．
事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），
（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．
∴P（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．…..（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．