【题目】已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f( )=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f( )=﹣ ,α∈( ,π),求sin(α+ )的值.
【答案】
(1)解:f( )=﹣(a+1)sinθ=0,
∵θ∈(0,π).
∴sinθ≠0,
∴a+1=0,即a=﹣1
∵f(x)为奇函数,
∴f(0)=(a+2)cosθ=0,
∴cosθ=0,θ=
(2)解:由(1)知f(x)=(﹣1+2cos2x)cos(2x+ )=cos2x(﹣sin2x)=﹣ ,
∴f( )=﹣ sinα=﹣ ,
∴sinα= ,
∵α∈( ,π),
∴cosα= =﹣ ,
∴sin(α+ )=sinαcos +cosαsin =
【解析】(1)把x= 代入函数解析式可求得a的值,进而根据函数为奇函数推断出f(0)=0,进而求得cosθ,则θ的值可得.(2)利用f( )=﹣ 和函数的解析式可求得sin ,进而求得cos ,进而利用二倍角公式分别求得sinα,cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识,掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.
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【题目】几位同学在研究函数 时,给出了下面几个结论:
①的单调减区间是,单调增区间是;
②若,则一定有;
③函数的值域为;
④若规定,,则对任意恒成立.
上述结论中正确的是____
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【题目】已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线相交于不同的两点, ,与抛物线的准线相交于不同的两点, ,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点, ,且满足.证明直线过定点,并求出点的坐标.
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【题目】已知双曲线: 的左右焦点分别为、, 为右支上的点,线段交的左支于点,若是边长等于的等边三角形,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
即双曲线的标准方程为,选A.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件,已知原球形工件的半径为,则张师傅的材料利用率的最大值等于(注:材料利用率=)( )
A. B. C. D.
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【题目】下列各组中的两个函数是同一函数的有几组?
(1)y1=,y2=x–5; (2)y1=,y2=;
(3)f(x)=x,g(x)=; (4)f(x)=,F(x)=x.
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 组3
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【题目】已知函数的定义域为D,且同时满足以下条件:
①在D上是单调递增或单调递减函数;
②存在闭区间 D(其中),使得当时,的取值集合也是.那么,我们称函数 ()是闭函数.
(1)判断是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由.
(2)若是闭函数,求实数的取值范围.
(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可)
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