Question

（2012•贵州模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B₁点重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）在线段B₁A上是否存在一点P，使CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为

2

3

？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，确定平面B₁OC的法向量、平面AB₁C的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．确定平面B₁OA的法向量为

m′

=（0，1，0），

CP

的坐标，根据CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为

2

3

，利用向量的夹角公式，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意得OA、OC、OB₁两两垂直，分别以射线OA、OC、OB₁为x、y、轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
设平面B₁OC的法向量为

n

，可得

n

=(1，0，0)
设平面AB₁C的法向量为

m

=（x，y，z），

AB1

=(-2，0，1)，

AC

=(-2，1，0)
由

m • AB1 =0 m • AC =0

，可得

-2x+z=0 -2x+y=0

，∴可取

m

=(1，2，2)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

∴二面角A-B₁C-O的大小为arcsin

1

3

；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．证明如下：
设

AP

=λ

AB1

=(-2λ，0，λ)，则

CP

=

CA

+

AP

=(2-2λ，-1，λ)
∵平面B₁OA的法向量为

m′

=（0，1，0），CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为

2

3

∴|

CP • m′

| CP || m′ |

|=

1

5λ2-8λ+5

=

2

3

∴20λ²-32λ+11=0
∴λ=

1

2

或λ=

11

10

＞1（舍去）
∴P为线段AB₁的中点．

点评：本题考查面面角、线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，，求平面的法向量是关键，属于中档题．