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    （2009•大连二模）椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若经过点F1且与x轴、y轴不平行的直线与该椭圆交于A、B两点，则下列结论错误的是
    ①④
    ①④
    （把你认为错误的结论序号都写上）．
    ①|AB|的取值范围是[
    2b2
    a
    ，2a）；
    ②以AF1为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切；
    ③如果∠F1AF2的平分线与F1F2交于M点，则椭圆的离心率等于
    |MF1|
    |AF1|
    ；
    ④△ABF2的面积最大值是a．
    分析：根据椭圆的几何性质，可得直线AB绕F1点旋转时，|AB|最小值为
    2b2
    a
    且最大值为2a，由此可得①是错误的；根据圆与圆的位置关系判断，结合椭圆的定义和三角形中位线定理，可得以AF1为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切，故②正确；根据三角形内角平分线定理，结合比例的性质和椭圆离心率公式，可得③正确；根据椭圆的几何性质求得△ABF2的面积最大值不是a，得④错误．由此可得本题的正确答案．
    解答：解：对于①，将直线AB绕F1点旋转，根据椭圆的几何性质，得
    当AB与长轴垂直时，|AB|取到最小值，设此时A（-c，n），
    则
    (-c)2
    a2
    +
    n2
    b2
    =1，解之得n=
    b2
    a
    （舍负）
    因此，|AB|=2n=
    2b2
    a
    ，而当AB与椭圆的长轴重合时，|AB|最大值为2a，
    由此可得|AB|的取值范围是[
    2b2
    a
    ，2a]，故①是错误的；
    对于②，设AF1的中点为N，则以AF1为直径的圆以N为圆心
    根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF2|=2a-|AF1|，
    可得|ON|=
    1
    2
    |AF2|=a-|NF1|，
    而以长轴为直径的圆的圆心为O，说明两圆的圆心距恰好等于半径之差，
    因此以AF1为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切，故②正确；
    对于③，因为AM平分∠F1AF2，所以根据三角形的平分线定理，得
    |AF1|
    |MF1|
    =
    |AF2|
    |MF2|
    =
    |AF1|+|AF2|
    |MF1|+|MF2|
    =
    2a
    2c
    =
    1
    e

    ∴椭圆的离心率e=
    |MF1|
    |AF1|
    ，故③正确；
    对于④，将直线AB绕F1点旋转，根据椭圆的几何性质，得
    当AB与长轴垂直时，△ABF2的面积达到最大值
    因此，△ABF2的面积最大值为Smax=
    1
    2
    ×
    2b2
    a
    ×2c=
    2cb2
    a
    ≠a
    故△ABF2的面积最大值不是a，得到④是错误的．
    综上所述，只有①④是错误的
    故答案为：①④
    点评：本题给出关于椭圆的几个命题，要我们找出其中的假命题，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系、圆一圆的位置关系和三角形面积的最值等知识，属于中档题．
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