Question

（2012•北京）已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

分析：（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k2＞

3

2

，设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：y=

kxM+6

xM

x-2，则G(

3xM

kxM+6

，1)，从而可得

AG

=(

3xM

kxM+6

，-1)，

AN

=（x_N，kx_N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证

AG

，

AN

共线，利用韦达定理，可以证明．

解答：（1）解：原曲线方程可化简得：

x2

8 5-m

+

y2

8 m-2

=1
由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：

8 5-m ＞ 8 m-2 8 5-m ＞0 8 m-2 ＞0

，解得：

7

2

＜m＜5
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3）＞0，解得：k2＞

3

2

由韦达定理得：xM+xN=-

16k

2k2+1

①，xMxN=

24

2k2+1

，②
设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：y=

kxM+6

xM

x-2，则G(

3xM

kxM+6

，1)，
∴

AG

=(

3xM

kxM+6

，-1)，

AN

=（x_N，kx_N+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证

AG

，

AN

共线
即

3xM

xMk+6

(xNk+2)=-xN成立，化简得：（3k+k）x_Mx_N=-6（x_M+x_N）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．