分析 以$\left\{{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,由此利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值.
解答 解:以$\left\{{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),
A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3),
$\overrightarrow{{A_1}D}=(1,2,-3)$,$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=({0,4,0})$.
设平面A1C1D的法向量为$\overrightarrow n=(x,y,z)$,
∵$\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}D}=x+2y-3z=0$,$\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=4y=0$,
∴x=3z,y=0,令z=1,得x=3,$\overrightarrow n=({3,0,1})$.
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,
∵$\overrightarrow{D{B_1}}=({1,-2,3})$,
∴$sinθ=|cos<\overrightarrow{D{B_1}},\overrightarrow n>|=\frac{{|3×1+0×({-2})+1×3|}}{{\sqrt{10}×\sqrt{14}}}=\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$.
∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$.
点评 本题考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-3$\sqrt{2}$,3$\sqrt{2}$) | B. | (-∞,-3$\sqrt{2}$)∪(3$\sqrt{2}$,+∞) | C. | (-2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$) | D. | [-3$\sqrt{2}$,3$\sqrt{2}$] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 直线与抛物线有且只有一个公共点 | B. | 直线与抛物线有两个公共点 | ||
C. | 直线与抛物线有一个或两个公共点 | D. | 直线与抛物线可能没有公共点 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|-1<x<3} | B. | {x|1<x≤3} | C. | {x|-1≤x<2} | D. | {x|x>2} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1) | B. | (-1,0) | C. | (-∞,0) | D. | (-∞,-$\frac{1}{2}$) |
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