分析 (1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出点C到面BC1D的距离.
(2)求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$和平面BC1D的法向量,由此能求出D1E与平面BC1D所成角的正弦值.
解答 解:(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
∴C(0,2,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),
$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,2,2),
设平面BC1D的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
∴点C到面BC1D的距离:d=$\frac{|\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(2)D1(0,0,2),E(2,1,0),$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=(2,1,-2),
设D1E与平面BC1D所成角为θ,
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{9}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$.
∴D1E与平面BC1D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$.
点评 本题考查点到平面的距离的求法,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3 | B. | -3 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | -3$\sqrt{3}$ |
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