Question

7．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：（1）点C到面BC₁D的距离；
（2）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点C到面BC₁D的距离．
（2）求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$和平面BC₁D的法向量，由此能求出D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∴C（0，2，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
设平面BC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴点C到面BC₁D的距离：d=$\frac{|\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）D₁（0，0，2），E（2，1，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，1，-2），
设D₁E与平面BC₁D所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{9}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．