分析 (Ⅰ)若G为FC的中点,根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明:AF∥平面BDG;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值
解答 证明:(Ⅰ)连接AC交BD于O点,则O为AC的中点,连接OG,点G为FC的中点,
∴OG∥AF,
∵AF?平面BDG,OG?平面BDC,
∴AF∥平面BDG.
解:(Ⅱ)取AD的中点M,BC的中点Q,连接MQ,
则MQ∥AB∥EF,
∴M,Q,F,E共面.
作FP⊥MQ于P,EN⊥MQ于N,
则EN∥FP且EN=FP,连接EM,FQ
∵AE=DE=BF=CF,AD=BC,
∴△ADE≌△BCF,∴EM=FQ
∴△ENM≌△FPQ,∴MN=PQ=1,
∵BF=CF,Q为BC的中点,∴BC⊥FQ
又BC⊥MQ,FQ∩MQ=Q,
∴BC⊥平面MQEF,∴PF⊥BC,∴PF⊥平面ABCD
以P原点,PM为x轴,PF为z轴建立空间直角坐标系
则A(3,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),
设F(0,0,h),则$\overrightarrow{AF}$=(-3,-1,h),$\overrightarrow{CF}$=(1,1,h),
∵AF⊥CF,∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{CF}$=(-3,-1,h)•(1,1,h)=-3-1+h2=0,解得h=2,
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),$\overrightarrow{AF}$=(-3,-1,2),$\overrightarrow{BF}$=(1,-1,2),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-3x-y+2z=0}\\{x-y+2z=0}\end{array}\right.$,
令 z=1,则x=0,y=2,即$\overrightarrow{m}$=(0,2,1),
同理平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(-2,0,1),
∴$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$.
∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为$\frac{1}{5}$.
点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 20+2$\sqrt{5}$ | B. | 20+2$\sqrt{13}$ | C. | 18+2$\sqrt{13}$ | D. | 18+2$\sqrt{5}$ |
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