Question

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．
（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；
（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，
∴OG∥AF，
∵AF?平面BDG，OG?平面BDC，
∴AF∥平面BDG．
解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，
则MQ∥AB∥EF，
∴M，Q，F，E共面．
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，
则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ
∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，
∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ
∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，
∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ
又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，
∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD
以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系
则A（3，1，0），B（-1，1，0），C（-1，-1，0），
设F（0，0，h），则$\overrightarrow{AF}$=（-3，-1，h），$\overrightarrow{CF}$=（1，1，h），
∵AF⊥CF，∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{CF}$=（-3，-1，h）•（1，1，h）=-3-1+h²=0，解得h=2，
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AF}$=（-3，-1，2），$\overrightarrow{BF}$=（1，-1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-3x-y+2z=0}\\{x-y+2z=0}\end{array}\right.$，
令 z=1，则x=0，y=2，即$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
同理平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．