Question

3．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），两点F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F₁、F₂，求该平行四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得c，a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）求出直线AD与x轴垂直时平行四边形ABCD面积的值为6，在设出AD所在直线斜率存在时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求出AD的长度，再求出两平行线间的距离，代入平行四边形面积公式，可得平行四边形ABCD面积小于6．

解答 解：（1）由题意可知，c=1，又|PF₁|+|PF₂|=2a=2|F₁F₂|=4c，
∴2a=4，a=2，则b²=a²-c²=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当AD所在直线与x轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得y=$±\frac{3}{2}$，
∴平行四边形ABCD的面积S=2×3=6；
当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=kx-k，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
两条平行线间的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴平行四边形ABCD的面积S=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}•\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=24\sqrt{\frac{{k}^{4}+{k}^{2}}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$=$24\sqrt{\frac{\frac{1}{16}（4{k}^{2}+3）^{2}-\frac{1}{8}（4{k}^{2}+3）-\frac{3}{16}}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$
=$24\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{4{k}^{2}+3}）^{2}-\frac{1}{8}\frac{1}{4{k}^{2}+3}+\frac{1}{16}}$＜6．
综上，平行四边形ABCD面积的最大值为6．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线和椭圆位置关系的应用，涉及直线和椭圆的位置关系问题，常采用联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解，是中档题．