Question

20、函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、
（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log₂（x²-x-2）]＜2．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义证明，任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，证明即f（x₁）＜f（x₂），即可；
（2）先将原不等式化成f[log₂（x²-x-2）]＜f（2），再利用（1）的结论脱“f”符号转化为对数不等式解之即可．

解答：解：（1）证明：设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0、
∵f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+
f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log₂（x²-x-2）]＜2，∴f[log₂（x²-x-2）]＜f（2）
∴log₂（x²-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．