Question

已知m∈R，f（x）=3^2x+1+（m-1）（3^x+1-1）-（m-3）•3^x．
（1）m=4时，求解方程f（x）=0；
（2）若f（x）=0有两不等实根，求m的取值范围；
（3）m=4时，若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：可令3^x=t（t＞0），然后转化为二次函数的相关问题．
（1）m=4时，f（x）=3t²+8t-3=0，解此方程能够得到方程f（x）=0的解；
（2）设y=3t²+2mt-m+1．由题设知该方程有两个根0＜t₁＜t₂，由此根据二次函数的性质能求出m的范围；
（3）m=4时，t=3^x＞0，y=3t²+8t-3=3(t+

4

3

)2-

25

3

＞-3，由此能导出a的范围．

解答：令3^x=t，f（x）=3^2x+1+（m-1）（3^x+1-1）-（m-3）•3^x=3t²+2mt-m+1．
（1）m=4时，f（x）=3t²+8t-3=0，
解得3x=

1

3

，x=-1或3^x=-3（舍去）．
故方程f（x）=0为x=-1．

（2）设y=3t²+2mt-m+1．由题设知该方程有两个根0＜t₁＜t₂
∴

△=4m2+12m-12＞0 f(0)=-m+1＞0 - 2m 6 ＞0

，
解得m＜-

3+ 21

2

．
（3）m=4时，
∵t=3^x＞0，
∴y=3t²+8t-3=3(t+

4

3

)2-

25

3

＞-3，
∵f（x）≥a恒成立，
∴a≤-3．

点评：本题考查函数的性质、定义域和值域，解题时要注意二次函数的性质和最值的灵活运用．