Question

定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，且对任意实数a，b，有f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，f（x）＞1，
（1）证明：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．
（3）当x∈[1，+∞）时，f（x²+x）+mf（2x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可．
（2）根据f（a+b）=f（a）•f（b），把不等式f（x-2）•f（2x-x²）＞1化为f（-x²+3x-2）＞1，再借助函数的单调性解不等式即可．
（3）当x∈[1，+∞）时，f（x²+x）+mf（2x）≥0恒成立，推出m的表达式，利用函数的单调性，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）证明：任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒

f(x2)

f(x1)

=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f ²（

1

2

x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是R上增函数．
（2））∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴令a=b=0，则f（0）=[f（0）]²，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；  
又∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴f（x）•f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）＞1，
又∵1=f（0）且f（x）在R上单调递增，
∴由f（-x²+3x）＞f（0）可得，-x²+3x＞0，解得，0＜x＜3，
∴x的取值范围为（0，3）．
（3）因为当x＞0时，f（x）＞1，所以f（2x）＞1，
f（x²+x）+mf（2x）≥0，可得m≥-

f(x2+x)

f(2x)

=-f（x²-x）．
当x∈[1，+∞）时，x²-x是增函数，f（x²-x）是增函数，
-f（x²-x）是减函数，
所以x=1时，-f（x²-x）取得最大值，
∴m≥-f（1²-1）=-f（0）=-1．
∴m≥-1．
实数m的取值范围：[-1，+∞）．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．