若数列满足:
是常数),则称数列
为二阶线性递推数列,且定义方程
为数列
的特征方程,方程的根称为特征根; 数列
的通项公式
均可用特征根求得:
①若方程有两相异实根
,则数列通项可以写成
,(其中
是待定常数);
②若方程有两相同实根
,则数列通项可以写成
,(其中
是待定常数);
再利用可求得
,进而求得
.
根据上述结论求下列问题:
(1)当,
(
)时,求数列
的通项公式;
(2)当,
(
)时,求数列
的通项公式;
(3)当,
(
)时,记
,若
能被数
整除,求所有满足条件的正整数
的取值集合.
(1) (2)
(3)
(1)由可知特征方程为:
,
…………………3分
所以 设 ,由
得到
,
所以 ; …………………6分
(2)由可以得到
设,则上述等式可以化为:
…………………8分
,所以
对应的特征方程为:
,
…………………10分
所以令 ,由
可以得出
所以…………………11分
即 …………………12分
(3)同样可以得到通项公式………14分
所以
即 …………………14分
即 ,
…………………16分
因此除以
的余数,完全由
除以
的余数确定,
因为 所以
,
,
,
,
,
,
,
,
,
由以上计算及可知,数列
各项除以
的余数依次是:
它是一个以
为周期的数列,从而
除以
的余数等价于
除以
的余数,所以
,
,
即所求集合为:…………………18分
科目:高中数学 来源: 题型:
数列满足
,
是常数.
⑴当时,求
及
的值;
⑵数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;
⑶求的取值范围,使得存在正整数
,当
时总有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
数列满足
,
是常数.
(1)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;
(2)求的取值范围,使得存在正整数
,当
时总有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分18分,第(1)小题6分,第(2)小题6分,第(3)小题6分)
若数列满足:
是常数),则称数列
为二阶线性递推数列,且定义方程
为数列
的特征方程,方程的根称为特征根; 数列
的通项公式
均可用特征根求得:
①若方程有两相异实根
,则数列通项可以写成
,(其中
是待定常数);
②若方程有两相同实根
,则数列通项可以写成
,(其中
是待定常数);
再利用可求得
,进而求得
.
根据上述结论求下列问题:
(1)当,
(
)时,求数列
的通项公式;
(2)当,
(
)时,求数列
的通项公式;
(3)当,
(
)时,记
,若
能被数
整除,求所有满足条件的正整数
的取值集合.
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科目:高中数学 来源:河北省2010年高三一模模拟(三)数学理 题型:解答题
(本小题满分12分)
数列满足
,
是常数.
(1)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;
(2)求的取值范围,使得存在正整数
,当
时总有
.
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