Question

【题目】2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产，决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：

生猪存栏数量（千头）	2	3	4	5	8
头猪每天平均成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.5

（1）研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系，请帮他求出关于的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）

（2）研究员乙根据以上数据得出与的回归模型：.为了评价两种模型的拟合结果，请完成以下任务：

①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：称为相应于点的残差）；

生猪存栏数量（千头）		2	3	4	5	8
头猪每天平均成本（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.5
模型甲	估计值
	残差
模型乙	估计值	3.2	2.4	2	1.76	1.4
	残差	0	0	0	0.14	0.1

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较与的大小，判断哪个模型拟合效果更好；

（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.（利润=收入-成本）

参考公式：，

参考数据： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②

因为，故模型的拟合效果更好；（2）1.2万头，理由见解析.

【解析】

（1）根据所给数据计算，再计算出方程中的系数，得方程；

（2）①模型甲根据所求线性回归方程计算估计值，得残差，模型乙直接根据估计值得残差，②计算出，可得；

（3）利用模型乙计算出成本，再计算出利润，然后比较可得．

（1）由题知：，

，故.

（2）①经计算，可得下表：

生猪存栏数量（千头）		2	3	4	5	8
头猪每天平均成本（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.5
模型甲	估计值	2.80	2.55	2.30	2.05	1.30
	残差	0.40	-0.15	-0.30	-0.15	0.20
模型乙	估计值	3.2	2.4	2	1.76	1.4
	残差	0	0	0	0.14	0.1

因为，故模型的拟合效果更好.

（3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为元，

这样一天获得的总利润为元.

若生猪存栏数量达到1.2万头，

由（2）模型乙可知，每头猪的成本为元，

一天获得的总利润为元，

因为，所以选择择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.