Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组

m＞3 f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0

，则m²+n²的取值范围为（　　）

A．（3，7）

B．（9，25）

C．（13，49）

D．（9，49）

Answer 1

分析：由f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，可将不等式可化为f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），利用f（x）的单调性，可化为关于m的整式不等式（m-3）²+（n-4）²＜4，分析（m-3）²+（n-4）²＜4的几何意义，即可求得m²+n² 的取值范围．

解答：解：∵对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+23）＜-f[（1+（n²-8n-1）]，
∴f（m²-6m+23）＜f[（1-（n²-8n-1）]=f（2-n²+8n）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4（m＞3）
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m-3）²+（n-4）²=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（

32+22

，5+2），即（

13

，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方
∴m²+n² 的取值范围是（13，49）．
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．