Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）是否存在这样的实数k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0对一切恒成立，若存在，试求出k的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）不存在满足题意的实数k.

【解析】

（Ⅰ）真数大于0解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性；
（Ⅱ）假设存在实数k后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然后转化为最值即可得．

（Ⅰ）由＞0 得-2＜x＜2，

所以f（x）的定义域为（-2，2）；

∵f（-x）=lg=-lg=-f（x），

∴f（x）是奇函数．

（Ⅱ）假设存在满足题意的实数k，则

令t===-1，x∈（-2，2），

则t在（-2，2）上单调递减，又y=lgt在（0，+∞）上单调递增，

于是函数f（x）在（-2，2）上单调递减，

∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0f（k-x2）≥-f（2k-x4）

f（k-x2）≥f（x4-2k）-2＜k-x2≤x4-2k＜2，

由题意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2对一切x∈[-，]恒成立，

得不等式组对一切x∈[-，]恒成立，

∴，即k∈．

故不存在满足题意的实数k．