Question

16．设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上一点，F₁，F₂是其左、右焦点，O为坐标原点，若|PF₁|•|PF₂|=8，则|OP|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨设m≥n．则m+n=6，mn=8，解得m，n．再利用中线长定理即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a=9，b²=5，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨设m≥n．
则m+n=6，mn=8，
解得m=4，n=2．
利用中线长定理可得：4²+2²=2²+2²+2|OP|²，
解得|OP|=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．