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已知数列{an}中,前n项和为Sn,点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2,其中n=1,2,3…,
(Ⅰ)设bn=an+1-2an,且a1=1,求证数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)令f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较f′(1)与6n2-3n的大小.
分析:(I)由点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2上,知Sn+1=4an+2.所以an+2=4an+1-4an.再由bn=an+1-2an,知bn+1=2bn.上此知数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(II)由bn=3•2n-1,f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,知f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1.从而f′(1)=b1+2b2+…+nbn=3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1).Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1,由错位相减法知Tn=(n-1)•2n+1.f′(1)=3(n-1)•2n+3.由f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]能推导出f′(1)>6n2-3n.
解答:解:(I)由已知点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2上.
∴Sn+1=4(an+1)-2.
即Sn+1=4an+2.(n=1,2,3,)
∴Sn+2=4an+1+2.
两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an
即an+2=4an+1-4an.(3分)
an+2-2an+1=2(an+1-2an).
∵bn=an+1-2an,(n=1,2,3,)
∴bn+1=2bn
由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.
解得a2=5,b1=a2-2a1=3.
∴数列{bn}是首项为3,公式为2的等比数列.(6分)
(II)由(I)知bn=3•2n-1
∵f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn
∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1
从而f′(1)=b1+2b2+…+nbn
=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1
=3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1)(8分)
设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1
2Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
两式相减,得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
=
1-2n
1-2
-n•2n

∴Tn=(n-1)•2n+1.
∴f′(1)=3(n-1)•2n+3.(11分)
由于f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]
=3(n-1)[2n-(2n+1)].
设g(n)=f′(1)-(6n2-3n).
当n=1时,g(1)=0,∴f′(1)=6n2-3n;
当n=2时,g(2)=-3<0,∴f′(1)<6n2-3n;
当n≥3时,n-1>0,又2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2>2n+1,
∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0,即g(n)>0,从而f′(1)>6n2-3n.(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意不等式的合理运用.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,则
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
2n
an
}
的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=
1
2
Sn
为数列的前n项和,且Sn
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*
),则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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