Question

设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x-2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）把=（x-2，y），=（x+2，y）代入|a|+|b|=8，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，即OA⊥OB，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理即可得出结论．
解答：解：（I）因为|a|+|b|=8，所以．
所以动点M的轨迹是到定点F₁（-2，0），F₂（2，0）的距离之和为8的椭圆．
则曲线C的方程是．
（Ⅱ）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点．
由，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾．
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
△=256k²+128（4k²+3）＞0恒成立．
由根与系数关系得：，．
因为，所以四边形OAPB为平行四边形．
若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则，即．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即．
化简得：12k²+5=0．与斜率存在矛盾．
则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形．
点评：考查向量和解析几何相结合，体现了向量的工具性，考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题，属难题．