Question

（2008•奉贤区二模）设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若不存在，说明理由．

存在，通项公式g(n)=

n+1

n

．

Answer 1

分析：先将f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）用f（n）表示，然后代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）可求出g（n）的解析式．

解答：解：f（1）=1
f（2）=1+

1

2

f（3）=1+

1

2

+

1

3

…
f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）
=n×1+

1

2

（n-1）+

1

3

（n-2）…

1

n

[n-（n-1）]
=n[1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

]-[

1

2

+

2

3

+

3

4

…

n-1

n

]
=nf（n）-[1-

1

2

+1-

1

3

+1-

1

4

…1-

1

n

]
=nf（n）-[（n-1）-f（n）+1]
=（n+1）f（n）-n
因为f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）
所以（n+1）f（n）=ng（n）f（n）
所以g（n）=

n+1

n

故答案为：存在，通项公式g(n)=

n+1

n

点评：本题主要考查了数列的求和，以及存在性问题，同时考查了计算能力和转化能力，属于中档题．