Question

3．已知a_n=3n-1，则数列{$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}•\frac{n}{3n+2}$．

Answer 1

分析 通过a_n=3n-1裂项可知$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=3n-1，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{3n+2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}•\frac{n}{3n+2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．