Question

17．已知一圆与y轴相切，且在直线y=x上截得的弦AB=2$\sqrt{7}$，圆心在直线x-3y=0上，求此圆的方程．

Answer 1

分析 设出圆心C的坐标为（a，b），半径为r，根据圆心C在直线x-3y=0上，列出关于a与b的关系式，用b表示出a，同时根据圆C与y轴相切，得到圆的半径r=|a|，由直线y=x与圆相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可．

解答 解：设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
此时圆心坐标为（a，b），半径为r，
把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b，
又圆C与y轴相切，∴r=|a|，
∵圆心C到直线y=x的距离d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|b|，弦长的一半为$\sqrt{7}$，
∴根据勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此时圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C的标准方程为（x+3）²+（y+1）²=9，
综上，圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．