Question

选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为（2，

π

3

）．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l（3）的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），求|MA|•|MB|．

Answer 1

分析：（1）设点P（ρ，θ）是圆C上的任意一点，根据|OP|=2|OC|cos∠COP 求得圆C的极坐标方程．
（2）先求出圆C的直角坐标方程，把直线l的参数方程与圆的方程联立方程组，化为关于t的一元二次方程，
利用根与系数的关系以及参数的几何意义，求出|MA|•|MB|．

解答：解：（1）设点P（ρ，θ）是圆C上的任意一点，则在△COP中，OC=2，OP=ρ，∠COP=|θ-

π

3

|．
而|OP|=2|OC|cos∠COP，∴ρ=4cos（θ-

π

3

），即为所求的圆C的极坐标方程．
（2）圆心的直角坐标为（2cos

π

3

，2sin

π

3

），即 C（1，

3

），故圆C的直角坐标方程为 （x-1）²+（y-

3

）²=4．
把直线l的参数方程与圆的方程联立方程组，化简可得 t²-（3+2

3

）t+4

3

=0，∴t₁•t₂=3+4

3

．
再根据参数的几何意义可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=3+4

3

．

点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，一元二次方程根与系数的关系，参数的几何意义，属于基础题．