Question

一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a_k}，（k=1，2，3，…，n）试求：
（1）a₁，a₂，a₃；
（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？
（3）求数列{a_k}的前k项和S_k，并证明：S_k＜n³。

Answer 1

解：（1）由题意得，a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1， a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2；
（2）在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个； 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个，
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k -1）]=（k=1，2，…n）
即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数（kn-k²）（k =1，2，…n）个；
（3）∵a_k=kn-k²
∴




∵k≠k+1
∴ 等号不成立
∴。