Question

12．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x₁，x₂∈（m，n）且x₁≠x₂，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 充分必要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 由“$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$”?（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，?x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）同号．利用增函数的定义即可判断出结论．

解答 解：“$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$”?（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，?x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）同号．
∴对于任意的x₁，x₂∈（m，n）且x₁≠x₂，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$”的充要条件．
故选：B．

点评 本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．