Question

现有流量均为300m³/s的两条河流A、B汇合于某处后不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m³和0.2 kg/m³．假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100m³的水量，即从A股流入B股100m³水，经混合后，又从B股流入A股100m³水并混全．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m³（不考虑泥沉淀）？注：设含砂量为akg/m³，bkg/m³的两股水流在单位时间内流过的水量分别为pm³，qm³，则其混合后的含砂量为

ap+bq

p+q

kg/m³．

Answer 1

分析：我们设第n个观测点A股水流含沙量为a_n，B股水流含沙量为b_n．由已知我们易得{a_n-b_n}是以a₁-b₁为首项，

1

2

为公比的等比数列．求出数列的通项公式后，构造不等式，解不不等式，即可得到结论．

解答：解：设第n个观测点A股水流含沙量为a_nkg/m³，B股水流含沙量为b_n．
a_n=

1

300

(200an+100bn)=

1

4

(3an-1+bn-1)
即：a_n-b_n=

1

2

（a_n-1-b_n-1）
∴{a_n-b_n}是以a₁-b₁为首项，

1

2

为公比的等比数列．
a_n-b_n=1.8•(

1

2

)n-1
解不等式1.8•(

1

2

)n-1＜10^-2
得2^n-1＞180，又由n正整数，
∴n≥9
因此，从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．

点评：本题考查等比数列的概念，不等式的解法，及应用数学知识解决实际问题的能力．在求数列的通项公式过程中，我们要分析数列项与项之间的关系，尽可能将数列转化为特殊数列（等差、等比），在解不等式时，我们要结合指数函数的性质，并结合n的实际意义进行解答．