Question

（2013•辽宁二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）已知函数h（x）=g（x）+ax³的一个极值点为1，求a的取值；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用1是h（x）的极值点，可得h^′（1）=-2+a+3a=0，解得a．再验证a的值是否满足h（x）取得的极值的条件即可．
（2）利用导数的运算法则即可得到f^′（x），分0＜t＜

1

e

与

1

e

≤t讨论，利用单调性即可得f（x）的最小值；
（3）由2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，设h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0）．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立?a≤h（x）_min，利用导数求出h（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵h（x）=-x²+ax-3+ax³，∴h^′（x）=-2x+a+3ax²，
∵1是h（x）的极值点，∴h^′（1）=-2+a+3a=0，解得a=

1

2

．
经验证a=

1

2

满足h（x）取得的极值的条件．
（2）∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1，
令f^′（x）=0，解得x=

1

e

．当0＜x＜

1

e

时，f^′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞

1

e

时，f^′（x）＞0，f（x）单调递增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

无解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

．
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=

- 1 e ，当0＜t＜ 1 e 时 tlnt，当t≥ 1 e 时

．
（3）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
令h^′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上单调递减；
令h^′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
∴h（x）≥h（1）=4．
∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤h（x）_min=4．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化为等基础知识于基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．