Question

下列函数中既是偶函数且在区间（0，

π

2

）上单调递减的函数是（　　）

Answer 1

分析：由函数奇偶性的定义排除选项A、B、D，最后判断函数y=cosx的奇偶性，再利用定义证明其在（0，

π

2

）上单调递减．

解答：解：∵sin（-x）=-sinx，∴函数y=sinx为奇函数，故A不正确；
∵tan（-x）=-tanx，∴函数y=tanx为奇函数，故B不正确；
∵cos（-x）=cosx，∴函数y=cosx为偶函数，
又若0＜x1＜x2＜

π

2

，则cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

，
∵0＜x1＜x2＜

π

2

，则0＜

x1+x2

2

＜

π

2

，-

π

4

＜

x1-x2

2

＜0，
∴cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

＞0．
∴cosx₁＞cosx₂．
∴函数y=cosx在区间（0，

π

2

）上单调递减，故C正确；
函数y=lnx的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以，函数y=lnx是非奇非偶函数，故D不正确．
故选C．

点评：本题是考查函数的奇偶性与单调性的综合题，单纯的从解决问题而言，此题可以直接利用函数不是偶函数排除A、B、D．对于选项C，可以借助于其图象分析单调性，也可利用定义证明，此题是基础题型．