方程8x2+6kx+2k+1=0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值,若能,求出k的值;若不能,请说明理由.
原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值
【解析】设直角三角形两锐角分别为α、β,设已知方程的两根为x1、x2,
则x1=sinα,x2=sinβ=sin=cosα
由韦达定理得:
x1+x2=sinα+cosα=sin
x1·x2=sinα·cosα=sin2α
于是有,
即,∴,
易知该混合组无解.
故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值.
[点评] 此题易产生下面错解.
设直角三角形的两个锐角分别为α和β.
已知方程的两根为x1和x2,则x1=sinα,x2=sinβ.
又α与β互余,∴x2=sin=cosα.
由sin2α+cos2α=1得
x+x=1⇒(x1+x2)2-2x1x2=1.
由韦达定理得: 2-2·=1⇒9k2-8k-20=0.解得:k1=2,k2=-.
错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0,锐角的三角函数值应为正值的条件.事实上,当k=2时,原方程可化为8x2+12x+5=0,此时Δ<0,方程无实根.当k=-时,原方程化为:8x2-x-=0,此时x1x2=-,即sinαcosα=-.∵α是锐角,∴该式显然不成立.
科目:高中数学 来源:聊城一中高一周考 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系式 题型:044
已知sinα、sinβ是方程8x2-6kx+2k+1=0的两根,且α、β终边互相垂直.
求k的值.
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科目:高中数学 来源:导学大课堂必修四数学苏教版 苏教版 题型:044
已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin和cos.
(1)求k的值;
(2)求tan的值(其中sin>cos).
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科目:高中数学 来源:重难点手册 高中数学·必修4(配人教A版新课标) 人教A版新课标 题型:044
是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值?
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