Question

设f（x）=

1+2x+3x•a

3

（其中a为实数），如果当x∈（-∞，1）时恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由于分母为3，故f（x）＞0只需1+2^x+3^x•a＞0，分离参数可得a＞-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]，故利用右边函数为单调减函数，可求求最大值，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：函数f（x）有意义，须且只需1+2^x+3^x•a＞0，
即a＞-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]…（*），
设g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]，x∈（-∞，1），
因为y₁=-(

1

3

)x，y₂=-(

2

3

)x在（-∞，1）上都是增函数，所以g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]在（-∞，1）上是增函数，故[g（x）]_max=g（1）=-1．
所以，欲使（*）对x∈（-∞，1）恒成立，必须a＞g（1）=-1，
即实数a的取值范围是（-1，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，借助于研究函数的最值，从而求出参数的范围．