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(2013•淄博二模)袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;
(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
分析:(I)从8个球中摸出2个小球的种数为
C
2
8
=28
.其中 一次摸出2个小球,恰为异色球包括一黑一白,一黑一红,一白一红三种类型,为
C
1
1
C
1
7
+
C
1
3
C
1
4
,根据古典概型的概率计算公式即可得出.
(II)符合条件的摸法包括以下三种:一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有
C
1
1
C
1
4
C
1
3
种方法;一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有
C
2
4
C
1
4
种方法;一种是所摸得的3小球均为红球,共有
C
3
4
=4
种摸法;故符合条件的不同摸法共有40种.利用古典概型的概率计算公式、分布列和数学期望的计算公式即可得出.
解答:解:(Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为
C
1
1
C
1
7
+
C
1
3
C
1
4
=19.
从8个球中摸出2个小球的种数为
C
2
8
=28

故所求概率为P=
19
28

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种:
一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有
C
1
1
C
1
4
C
1
3
=12种.
一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有
C
2
4
C
1
4
=24种,
一种是所摸得的3小球均为红球,共有
C
3
4
=4
种不同摸法,
故符合条件的不同摸法共有40种.
P(ξ=1)=
12
40
=
3
10
,P(ξ=2)=
24
40
=
3
5
,P(ξ=3)=
4
40
=
1
10

由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:
ξ 1 2 3
P
3
10
3
5
1
10
Eξ=
3
10
+2×
3
5
+3×
1
10
=
9
5
点评:正确分类和掌握古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键.
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1
3
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3
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