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已知动点S过点T(0,2)且被x轴截得的弦CD长为4.
(1)求动圆圆心S的轨迹E的方程;
(2)设P是直线l:y=x-2上任意一点,过P作轨迹E的切线PA,PB,A,B是切点,求证:直线AB恒过定点M;
(3)在(2)的条件下,过定点M作直线:y=x-2的垂线,垂足为N,求证:MN是∠ANB的平分线.
【答案】分析:(1)借助于图象把已知条件转化为|ST|2=22+|y|2,就可求出圆心S的轨迹E的方程;
(2)先求切线方程,转化为x1,x2是方程的两根,从而得AB的方程,进而求出定点;
(3)若AN.BN的斜率均存在,分别为k1,k2,倾斜角为α,β,要证MN是∠ANB的平分线,只需要证k1k2=1,再说明斜率不存在时也成立即可.
解答:解:(1)由题意,设S(x,y),则ST|2=22+|y|2,即x2=4y,所以轨迹E的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2),所以可得切线PA:,即
设P(t,t-2),P在PA上有,同理
故x1,x2是方程的两根,从而有,∴AB的方程为:,故恒过定点(2,2).
(3)过定点M作直线:y=x-2的垂线方程为x+y-4=0,从而垂足为N(3,1),MN的斜率为1,倾斜角为135
若AN.BN的斜率均存在,分别为k1,k2,倾斜角为α,β,要证MN是∠ANB的平分线,只需要证k1k2=1

设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-2)+2代入x2=4y得x2-4kx+8k-8=0,∴x1+x2=4k,x1x2=8k-8∴y1+y2=4k2-4k+4,y1y2=4k2-8k+4,代入
时,k1k2=1,当时,解得A,B两点的坐标分别为,此时AN,BN的斜率一个不存在,一个为0,从而MN是∠ANB的平分线.
点评:本题涉及到求轨迹方程问题.在求动点的轨迹方程时,一般是利用条件找到关于动点坐标的等式,整理可得所求方程.
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(2012•石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),M是动点,且直线MA与直线MB的斜率之积为-
1
4
,设动点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II )过定点T(-1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,是否存在定点S(s,0),使得
SP
SQ
为定值,若存在求出s的值;若不存在请说明理由.

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