Question

设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(  )

A．(－3,0)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪ (0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0,3)

Answer 1

D

试题分析：设F（x）="f" （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g （x）=-F（x）．
故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数．
已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，

可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．
点评：导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．解决该试题的关键是先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增。