Question

已知函数，.
(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程；
(Ⅱ) 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；
(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

解析试题分析：(Ⅰ)因为,所以切线的斜率

       2分
又,故所求切线方程为,即             4分
(Ⅱ)因为,又,所以当时,；当时, .
即在上递增,在上递减    5分
又,所以在上递增,在上递减      6分
欲与在区间上均为增函数,则,解得    8分
(Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为.                 9分
因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点          10分
又,且，
所以当时,，函数单调递增；当时, ，函数单调递减.
故在处取得最小值．                                   12分
从而当时原方程有唯一解的充要条件是．     13分
考点：函数单调性最值
点评：第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率，进而得到直线方程，由导数大于零可求得增区间，导数小于零可得减区间，第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点，结合图像需求函数最值