Question

12．数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比数列，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用迭代法得到a_n+1-a_n=2a_n+1，从而得到${a}_{n+1}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n}+\frac{1}{2}）$，进而得到{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由等差数列性质结合已知条件得到b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，依题意可得9-d，10，16+d成等比数例，由此能求出{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1），①
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+（n-1）+1，②
①-②，得：a_n+1-a_n=2a_n+1，
∴a_n+1=3a_n+1，
∴${a}_{n+1}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n}+\frac{1}{2}）$，
又${a}_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，∴{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列．
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，n∈N^*．
（2）∵等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，
依题意可得9-d，10，16+d成等比数例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴b_n=4n-2，n∈N^*．

点评 本题考查数列通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的前n基和公式、通项公式的灵活运用．