Question

下列说法：
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”；
②函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π，
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x
其中正确的说法是

 

．

Answer 1

分析：根据含量词的命题的否定形式判断出①对，根据二倍角正弦公式先化简函数，再利用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错；写出否命题，利用特例即可判断③错；根据函数的奇偶性求出f（x）在x＜0时的解析式，判断出④对．

解答：解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对
对于②，y=sin(2x+

π

3

)sin(

π

6

-2x)=

1

2

sin(4x+

2π

3

)，所以周期T=

2π

4

=

π

2

，故②错
对于③，“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x₀处没有极值，则f′（x₀）≠0”，例如y=x³，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错
对于④，设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=2^-x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-2^-x，故④对
故答案为①④

点评：求含量词的命题的否定，应该将量词”任意“与”存在“互换，同时结论否定；函数的极值点要满足导数为0且左右两边的导数符号相反．