Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，率心率e=

2

2

，此椭圆与直线3x-3y+2

3

=0交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，求∠F₁MF₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为.

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)． e=

c

a

=

2

2

，

a2-b2

a2

=

1

2

，a²=2b²．椭圆方程化简为　

x2

2b2

+

y2

b2

=1．椭圆与直线相交，解方程组：

x2 2b2 + y2 b2 =1 3x-3y+2 3 =0

?

x2+2y2=2b2 ① y=x+ 2 3 3 ②

，由此能导出所求椭圆．
（2）在椭圆

x2

2

+y2=1中，a=

2

，b=c=1，|MF₁|+|MF₂|=2a，cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=-1+

2a2-2c2

-(|MF2|-a)2+a2

，其中：a≤|MF₂|≤a+c．由此能导出∠F1MF2∈[0，

π

2

]．

解答：解：（1）设椭圆方程为.

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵e=

c

a

=

2

2

，

a2-b2

a2

=

1

2

，a²=2b²．
∴椭圆方程化简为　

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
∵椭圆与直线相交，解方程组：

x2 2b2 + y2 b2 =1 3x-3y+2 3 =0

?

x2+2y2=2b2 ① y=x+ 2 3 3 ②

，
由①代入②，代简得3x2+

8 3

3

x+

8

3

-2b2=0．
根据韦达定理，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x1+x2=- 8 3 9 x1x2= 8 9 - 2b2 9

∵OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，③
由②得y1y2=x1x2+

2 3

3

(x1+x2)  +

4

3

，
把④代入③，得2x1x2+

2 3

3

(x1+x2) +

4

3

=0，
∴b²=1
∴所求椭圆为

x2

2

+y2=1．
（2）在椭圆

x2

2

+y2=1中，a=

2

，b=c=1，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=

(2a-|MF2|)2+|MF2|2-4c2

2(2a-|MF2|)•|MF2|

=

2|MF2|2-4a|MF2|+4a2-4c2

4a|MF2|-2|MF2|2

=-1+

2a2-2c2

2a|MF2|-|MF2|2

=-1+

2a2-2c2

-(|MF2|-a)2+a2

其中：a≤|MF₂|≤a+c．
当|MF₂|=a时，cos∠F₁MF₂有最小值为0，
此时，∠F₁MF₂有最大值为

π

2

，
当|MF₂|=a+c时，即M点与椭圆长轴左端点重合，∠F₁MF₂有最小值为0，故∠F1MF2∈[0，

π

2

]．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．