Question

2．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB=$\sqrt{2}$OA，PD=$\sqrt{3}$，∠P=15°，
（1）求∠PCB的大小；
（2）分别球线段BC和PA的长度．

Answer 1

分析 （1）证明∠AOB=90°，可得∠POA+（180°-2∠C）=90°，即可求∠PCB的大小；
（2）利用正弦定理，可得PA=$\frac{\sqrt{3}+R}{\sqrt{2}}$．根据割线定理有PA•PB=PD•PC，求出R，即可求出线段BC和PA的长度．

解答 解：（1）∵AB=$\sqrt{2}$OA，OA=OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠POA+（180°-2∠C）=90°，
∵∠P=15°，
∴∠POA=∠OAB-∠P=30°，
∴30°+（180°-2∠C）=90°，
∴∠C=60°；
（2）设圆O的半径为R，在△PAO中，$\frac{PA}{sin30°}=\frac{\sqrt{3}}{sin135°}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}+R}{\sqrt{2}}$．
根据割线定理有PA•PB=PD•PC，
∴$\frac{\sqrt{3}+R}{\sqrt{2}}$•（$\frac{\sqrt{3}+R}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$R）=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$+2R），
∴R=1，
∴PA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∵∠BOC=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC=1．

点评 本题考查角的计算，考查割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．