Question

（2011•湖北模拟）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（其中a＞b＞0）的离心率分别为e₁，e₂有下列结论：①e₁e₂＜1；②e₁²+e₂²=2；③e₁e₂＞1；④e₁e₂=1；⑤e₁+e₂＜2
其中正确的是

①②⑤

．

Answer 1

分析：利用椭圆和双曲线的性质分别表示出e₁和e₂，进而得到e₁²+e₂²=2，再根据e₁，e₂均大于0，故求m=e₁+e₂的范围可先求m平方的范围即求e₁²+e₂²+2e₁e₂的范围，而e₁²+e₂²=2，再根据a＞b＞0推断出 0＜

b

a

＜1，进而求得e₁e₂的表达式，求得e₁e₂的范围，代入m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂中，求得m²的范围．即可得到答案．

解答：解：由题意得：
e₁=

a2-b2

a

＞0，e₂=

a2+b2

a

＞0
∴e₁²+e₂²=2，②正确；
∵m=e₁+e₂
∴m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂
即m²=2+2e₁e₂=2+2

a4-b4

a2

=2+2

1-( b a )4

∵a＞b＞0
∴0＜

b

a

＜1
∴0＜e₁e₂＜1，故①正确，③④错误；
即2＜m²＜4
即

2

＜m＜2，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识，本题采用了转化思想，通过求解变量的平方从而解决了问题，是解决问题常用的手段，属于基础题．