练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2009•浦东新区一模）若a、b是正数，则(3a+
    1
    b
    )2+(3b+
    1
    a
    )2    的最小值为
    24
    24
    ．
    分析：连续用基本不等式求最小值，由题设知  (3a+
    1
    b
    )    2    +(3b+
    1
    a
    )    2    ≥2（3a+
    1
    b
    ）（3b+
    1
    a
    ）=2（9ab+
    1
    ab
    ）+12，其中等号成立的条件是a=b，又（9ab+
    1
    ab
    ）≥2
    		9ab×
    1
    ab
    = 6    ．
    等号成立的条件是条件是9ab=
    1
    ab
     与a=b联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=
    		3
    3
    ，计算出最值是24．
    解答：解：∵a，b是正数，
    ∴(3a+
    1
    b
    )    2    +(3b+
    1
    a
    )    2    ≥2（3a+
    1
    b
    ）（3b+
    1
    a
    ）=2（9ab+
    1
    ab
    ）+12
    等号成立的条件是3a+
    1
    b
    =3b+
    1
    a

    解得a=b，①
    又（9ab+
    1
    ab
    ）≥2
    		9ab×
    1
    ab
    = 6    ．
    等号成立的条件是9ab=
    1
    ab
     ②
    由①②联立解得x=y=
    		3
    3
    ，
    即当x=y=
    		3
    3
     时，(3a+
    1
    b
    )    2    +(3b+
    1
    a
    )    2    的最小值为2×+12=24
    故答案为：24
    点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
    		3
    米，记∠BHE=θ．
    （1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
    （2）若sinθ+cosθ=
    		3
    +1
    2
    ，求此时管道的长度L；
    （3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区一模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1-6，则
    limn→∞
    Sn    =
    16
    16
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区一模）函数y=2sin2x的最小正周期为
    π
    π
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区一模）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
    1
    2
    x，a=2，b=1    ，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
    （3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
    1
    x
    (x＞0)    ，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
    		3
     ， c=2    ，且
    .
    sinCsinB0
    0b-2c
    cosA01
    .
    =0    ，求△ABC的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案